方差的概念與計算公式

例1 ：兩人的5次測驗成績?nèi)缦拢?

X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;

Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。

平均成績相同，但X 不穩(wěn)定，對平均值的偏離大。

方差描述隨機變量對于數(shù)學(xué)期望的偏離程度。

單個偏離是消除符號影響

方差即偏離平方的均值，記為D(X )：

直接計算公式分離散型和連續(xù)型，具體為：

這里 是一個數(shù)。推導(dǎo)另一種計算公式

得到：“方差等于平方的均值減去均值的平方”。

其中，分別為離散型和連續(xù)型計算公式。 稱為標(biāo)準差或均方差，方差描述波動。

方差的性質(zhì)

1.設(shè)C為常數(shù)，則D(C) = 0(常數(shù)無波動);

2. D(CX )=C2 D(X ) (常數(shù)平方提取);

證：

特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)

3.若X 、Y 相互獨立，則

證：

前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開后為

當(dāng)X、Y 相互獨立時，

故第三項為零。

特別地

獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。

方差公式：

平均數(shù)：M=(x1 x2 x3 … xn)/n (n表示這組數(shù)據(jù)個數(shù)，x1、x2、x3……xn表示這組數(shù)據(jù)具體數(shù)值)

方差公式：S2=〈(M-x1)2 (M-x2)2 (M-x3)2 … (M-xn)2〉╱n

常用分布的方差

1.兩點分布

2.二項分布

X ~ B ( n, p )

引入隨機變量 Xi (第i次試驗中A 出現(xiàn)的次數(shù)，服從兩點分布)

3.泊松分布(推導(dǎo)略)

4.均勻分布

5.指數(shù)分布(推導(dǎo)略)

6.正態(tài)分布(推導(dǎo)略)

7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);

8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);

正態(tài)分布的后一參數(shù)反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特征是相符的。

例2 求上節(jié)例2的方差。

解 根據(jù)上節(jié)例2給出的分布律，計算得到

工人乙廢品數(shù)少，波動也小，穩(wěn)定性好。

方差的定義：

設(shè)一組數(shù)據(jù)x1,x2,x3······xn中，各組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)2，(x2-x拔)2······(xn-x拔)2，那么我們用他們的平均數(shù)s2=1/n【(x1-x拔)2 (x2-x拔)2 ·····(xn-x拔)2】來衡量這組數(shù)據(jù)的波動大小，并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差。

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