2016考研高數(shù)解析：中值定理

中值定理在高數(shù)復(fù)習是很重要的知識點，在前面復(fù)習階段就有很多考生對此不是很了解，下面考研就對此知識點進行一次解析，希望考生們可以借此機會充分掌握，不留疑惑。

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分為四個方面的問題：

①描繪函數(shù)圖形方面，包括單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點、函數(shù)的漸進線等，這方面相對來說解題思路比較固定，考生根據(jù)解題步驟可以按部就班做題;

②方程根的應(yīng)用，形式相對靈活，考察根的個數(shù)情況，或者已知根的情況討論未知參數(shù)的取值范圍，這類問題一般是從描繪函數(shù)圖形角度考慮，比較常見;

③關(guān)于中值定理的證明題，是考生普遍認為的一個難點;

④數(shù)學(xué)三的考生需要考慮的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用問題，去年的真題中就有涉及。

溫馨建議：同學(xué)們應(yīng)就這幾方面的應(yīng)用總結(jié)歸納，切不可只看重其中某一方面，因為導(dǎo)數(shù)應(yīng)用是考研數(shù)學(xué)的命題熱點，同學(xué)們需重視，若有某一方面的薄弱環(huán)節(jié)，可以在考前抓緊時間熟悉再熟悉。

現(xiàn)就中值定理方面的應(yīng)用，有幾點要叮囑大家。

1、有關(guān)中值定理的證明問題，將中值定理和介值定理或幾分中值定理結(jié)合命題是比較常見的命題形式。

4、對于"存在兩個點"的問題，一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理)，然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。

5、題設(shè)中含有二階或者二階以上導(dǎo)數(shù)時，應(yīng)注意考慮用泰勒公式進行分析討論。

6、證明不等式也是一種常見的形式，先回想一下，證明不等式的一般方法有：

①利用單調(diào)性證明不等式;

②利用極值與最值證明不等式;

③利用凹凸性證明不等式;

④利用拉格朗日中值定理證明不等式;

⑤利用泰勒公式證明不等式。

相對來說，證明不等式有一定的步驟可循，要么直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)，要么先將不等式做適當變形后再構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理的難點在于找到合適的函數(shù)，使其在某兩點的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來。

如果題目中有二階導(dǎo)數(shù)信息，或者輔助函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不能確定符號，需要二階甚至二階以上的導(dǎo)數(shù)信息才能證明不等式，此時可直接考慮用泰勒公式進行證明。