成都數(shù)學(xué)考研輔導(dǎo)班

考研數(shù)學(xué)：函數(shù)與極限定理匯總

7、函數(shù)的連續(xù)性
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在，且等于它在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim（x→x0）f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點(diǎn)x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim（x→x0）f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim（x→x0）f(x)存在，但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)時(shí)則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(diǎn)（左右極限相等者稱可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)）。非第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)（無窮間斷點(diǎn)和震蕩間斷點(diǎn)）。

有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和、積、商（分母不為0）是個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)。

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的。

定理（最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M。

定理（零點(diǎn)定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)（即f(a)×f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，即至少有一點(diǎn)ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

定理（介值定理）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)處取不同的值f(a)=A，f(b)=B，那么對(duì)于A與B之間的任一數(shù)C，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ使f(ξ)=C，（a<ξ<b）。