成都數學考研輔導班

考研數學：函數與極限定理匯總

7、函數的連續(xù)性
設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim（x→x0）f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續(xù)。

不連續(xù)情形：1、在點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim（x→x0）f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim（x→x0）f(x)存在，但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續(xù)或間斷。

如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的第一類間斷點（左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點）。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點（無窮間斷點和震蕩間斷點）。

有限個在某點連續(xù)的函數的和、積、商（分母不為0）是個在該點連續(xù)的函數。

如果函數f(x)在區(qū)間Ix上單調增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上單調增加或減少且連續(xù)。反三角函數在他們的定義域內都是連續(xù)的。

定理（最大值最小值定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數在開區(qū)間內連續(xù)或函數在閉區(qū)間上有間斷點，那么函數在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。

定理（有界性定理）在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定在該區(qū)間上有界，即m≤f(x)≤M。

定理（零點定理）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號（即f(a)×f(b)<0），那么在開區(qū)間（a,b）內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0。

定理（介值定理）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點處取不同的值f(a)=A，f(b)=B，那么對于A與B之間的任一數C，在開區(qū)間（a,b）內至少有一點ξ使f(ξ)=C，（a<ξ<b）。