山西考研數(shù)學輔導班

考研數(shù)學消滅重難點之中值定理應用

導數(shù)的應用分為四個方面的問題：

①描繪函數(shù)圖形方面，包括單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點、函數(shù)的漸進線等，這方面相對來說解題思路比較固定，考生根據(jù)解題步驟可以按部就班做題；

②方程根的應用，形式相對靈活，考察根的個數(shù)情況，或者已知根的情況討論未知參數(shù)的取值范圍，這類問題一般是從描繪函數(shù)圖形角度考慮，比較常見；

③關(guān)于中值定理的證明題，是考生普遍認為的一個難點；

④數(shù)學三的考生需要考慮的導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用問題，去年的真題中就有涉及。

現(xiàn)就中值定理方面的應用，老師有幾點要叮囑大家。

1、有關(guān)中值定理的證明問題，將中值定理和介值定理或幾分中值定理結(jié)合命題是比較常見的命題形式。

2、對于"存在兩個點"的問題，一般先用一次拉格朗日中值定理（或柯西中值定理），然后再用一次柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）。

3、題設中含有二階或者二階以上導數(shù)時，應注意考慮用泰勒公式進行分析討論。

4、證明不等式也是一種常見的形式，先回想一下，證明不等式的一般方法有：
①利用單調(diào)性證明不等式；
②利用極值與最值證明不等式；
③利用凹凸性證明不等式；
④利用拉格朗日中值定理證明不等式；
⑤利用泰勒公式證明不等式。

相對來說，證明不等式有一定的步驟可循，要么直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)，要么先將不等式做適當變形后再構(gòu)造輔助函數(shù)，應用拉格朗日中值定理的難點在于找到合適的函數(shù)，使其在某兩點的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來。

如果題目中有二階導數(shù)信息，或者輔助函數(shù)的一階導數(shù)不能確定符號，需要二階甚至二階以上的導數(shù)信息才能證明不等式，此時可直接考慮用泰勒公式進行證明。