昆明考研數(shù)學(xué)培訓(xùn)班

考研數(shù)學(xué)：中值定理精講

3、用微分中值定理說明的問題中，有兩個主要特征：含有某個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（甚至是高階導(dǎo)數(shù)）、含有中值（也可能有多個中值）。應(yīng)用微分中值定理主要難點在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)。在微分中值定理證明問題時，需要注意下面幾點：

（1）當(dāng)問題的結(jié)論中出現(xiàn)一個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個中值時，肯定是對某個函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)使用羅爾定理或者拉格朗日中值定理；

（2）當(dāng)出現(xiàn)多個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)與一個中值時，使用柯西中值定理，此時找到函數(shù)是最主要的；

（3）當(dāng)出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)時，通常歸結(jié)為兩種方法，對低一階的導(dǎo)函數(shù)使用三大微分中值定理、或者使用泰勒定理說明；

（4）當(dāng)出現(xiàn)多個中值點時，應(yīng)當(dāng)使用多次中值定理，在更多情況下，由于要求中值點不一樣，需要注意區(qū)間的選擇，兩次使用中值定理的區(qū)間應(yīng)當(dāng)不同；

（5）使用微分中值定理的難點在于如何構(gòu)造函數(shù)，如何選擇區(qū)間。對此我的體會是應(yīng)當(dāng)從需要證明的結(jié)論入手，對結(jié)論進(jìn)行分析。我們總感覺證明題無從下手，我認(rèn)為證明題其實不難，因為證明題的結(jié)論其實是對你的提示，只要從證明結(jié)論入手，逐步分析，必然會找到證明方法。

4、積分中值定理其實是微分中值定理的推廣，對變上限函數(shù)使用微分中值定理或者泰勒定理就可以得到積分中值定理甚至類似于泰勒定理的形式。因此看到有積分形式，并且?guī)в兄兄档淖C明題時，一定是對某個變上限積分在某點處展開為泰勒展開式或者直接使用積分中值定理。當(dāng)證明結(jié)論中僅有積分與被積函數(shù)本身時，一般使用積分中值定理；當(dāng)結(jié)論中有積分與被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，一般需要展開變上限積分為泰勒展開式。