考研數(shù)學(xué)：消滅重難點(diǎn)中值定理

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用分為四個(gè)方面的問(wèn)題：

①描繪函數(shù)圖形方面，包括單調(diào)區(qū)間與極值、凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)、函數(shù)的漸進(jìn)線等，這方面相對(duì)來(lái)說(shuō)解題思路比較固定，考生根據(jù)解題步驟可以按部就班做題;

②方程根的應(yīng)用，形式相對(duì)靈活，考察根的個(gè)數(shù)情況，或者已知根的情況討論未知參數(shù)的取值范圍，這類問(wèn)題一般是從描繪函數(shù)圖形角度考慮，比較常見;

③關(guān)于中值定理的證明題，是考生普遍認(rèn)為的一個(gè)難點(diǎn);

④數(shù)學(xué)三的考生需要考慮的導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題，去年的真題中就有涉及。

溫馨建議：同學(xué)們應(yīng)就這幾方面的應(yīng)用總結(jié)歸納，切不可只看重其中某一方面，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)應(yīng)用是考研數(shù)學(xué)的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們需重視，若有某一方面的薄弱環(huán)節(jié)，可以在考前抓緊時(shí)間熟悉再熟悉。

現(xiàn)就中值定理方面的應(yīng)用，有幾點(diǎn)要叮囑大家。

1、有關(guān)中值定理的證明問(wèn)題，將中值定理和介值定理或幾分中值定理結(jié)合命題是比較常見的命題形式。

2、對(duì)于"存在兩個(gè)點(diǎn)"的問(wèn)題，一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理)，然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。

3、題設(shè)中含有二階或者二階以上導(dǎo)數(shù)時(shí)，應(yīng)注意考慮用泰勒公式進(jìn)行分析討論。

4 、證明不等式也是一種常見的形式，先回想一下，證明不等式的一般方法有：

①利用單調(diào)性證明不等式;

②利用極值與最值證明不等式;

③利用凹凸性證明不等式;

④利用拉格朗日中值定理證明不等式;

⑤利用泰勒公式證明不等式。

相對(duì)來(lái)說(shuō)，證明不等式有一定的步驟可循，要么直接移項(xiàng)構(gòu)造輔助函數(shù)，要么先將不等式做適當(dāng)變形后再構(gòu)造輔助函數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理的難點(diǎn)在于找到合適的函數(shù)，使其在某兩點(diǎn)的函數(shù)值之差與要證的不等式聯(lián)系起來(lái)。

如果題目中有二階導(dǎo)數(shù)信息，或者輔助函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)不能確定符號(hào)，需要二階甚至二階以上的導(dǎo)數(shù)信息才能證明不等式，此時(shí)可直接考慮用泰勒公式進(jìn)行證明。