考研數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法定理匯總

?極限存在條件

●極限存在是指P(x,y)以任何方式趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)都無限接近于A，如果P(x,y)以某一特殊方式，例如沿著一條定直線或定曲線趨于P0(x0,y0)時(shí)，即使函數(shù)無限接近某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)極限存在。反過來，如果當(dāng)P(x,y)以不同方式趨于P0(x0,y0)時(shí)，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。例如函數(shù)：f(x,y)={0 (xy)/(x^2 y^2) x^2 y^2≠0}

?連續(xù)性

●定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，P0(x0,y0)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且P0∈D，如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)則稱f(x,y)在點(diǎn)P0(x0,y0)連續(xù)。

●性質(zhì)(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最大值和最小值。

●性質(zhì)(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個(gè)值之間的任何值至少一次。

?連續(xù)與可導(dǎo)

●如果一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對(duì)于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。這是因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn)P沿著平行于坐標(biāo)軸的方向趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)趨于f(P0)，但不能保證點(diǎn)P按任何方式趨于P0時(shí)，函數(shù)值f(P)都趨于f(P0)。

?可微的必要條件

●一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在是微分存在的充分必要條件，但多元函數(shù)各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件而不是充分條件，即可微=>可偏導(dǎo)。

?可微的充分條件

●定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)存在且在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

?極值存在的必要、充分條件

●定理(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必為零。

●定理(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令fxx(x0,y0)=0=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C，則f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否取得極值的條件如下：

1、AC-B2>0時(shí)具有極值，且當(dāng)A<0時(shí)有極大值，當(dāng)A>0時(shí)有極小值;

2、AC-B2<0時(shí)沒有極值;

3、AC-B2=0時(shí)可能有也可能沒有。

?多元函數(shù)極值存在的解法

1、解方程組fx(x,y)=0，fy(x,y)=0求的一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。

2、對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B、C。

3、定出AC-B2的符號(hào)，按充分條件進(jìn)行判定f(x0,y0)是否是極大值、極小值。

注意：在考慮函數(shù)的極值問題時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮在內(nèi)。