考研數(shù)學重災(zāi)區(qū)該如何破解

中值定理這塊一直都是很多考生的"災(zāi)難區(qū)"，一直沒有弄清楚看到一個題目到底怎么思考處理，因此也是考研得分比較低的一塊內(nèi)容，如果考生能把中值定理的證明題拿下，那么我們就會比其他沒做上的同學要高一個臺階，也可以說這是一套"拉仇恨"的題目。下面考研就和大家來一起分析一下這塊內(nèi)容。

破解方法：

一、具體考點分析

首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎(chǔ)是什么，相當于我們的工具，那需要哪些工具呢?

第一：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

最值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的必有最大值和最小值。

推論：有界性(閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)必有界)。

介值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)在最大值和最小值之間中任意一個數(shù)，都可以在區(qū)間上找到一點，使得這一點的函數(shù)值與之相對應(yīng)。

零點定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)，區(qū)間端點函數(shù)值符號相異，則區(qū)間內(nèi)必有一點函數(shù)值為零。

第二：微分中值定理(一個引理，三個定理)

費馬引理：函數(shù)f(x)在點ξ的某鄰域U(ξ)內(nèi)有定義，并且在ξ處可導，如果對于任意的x∈U(ξ)，都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) )，那么f'(ξ)=0。

羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;

在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ，使得 f?(ξ)="0.

幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧 (方程為 )是一條連續(xù)的曲線弧 ，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。而定理結(jié)論表明：

弧上至少有一點 ，曲線在該點切線是水平的。

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足：

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導;

在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ

加強版：如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù)，則在 (a, b)上至少存在一個點 ξ，使下式成立

第四：變限積分求導定理： 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分變上限函數(shù)在[a,b]上具有導數(shù)，并且導數(shù)為：

第五：牛頓--萊布尼茨公式：如果函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，并且存在原函數(shù)F(x) ，則

以上定理要求理解并掌握定理內(nèi)容和相應(yīng)證明過程。

二、注意事項

針對上文中具體的考點，佟老師再給出幾點注意事項，這幾個注意事項也是在證明題中的"小信號"，希望大家理解清楚并掌握：

1. 所有定理中只有介值定理和積分中值定理中的ξ所屬區(qū)間是閉區(qū)間。

2. 拉格朗日中值定理是函數(shù)f(x)與導函數(shù)f'(x)之間的橋梁。

3. 積分中值定理是定積分與函數(shù)之間的橋梁。

4. 羅爾定理和拉格朗日中值定理處理的對象是一個函數(shù)，而柯西中值定理處理的對象是兩個函數(shù)，如果結(jié)論中有兩個函數(shù)，形式與柯西中值定理的形式類似，這時就要想到我們的柯西中值定理。

5. 積分中值定理的加強版若在定理證明中應(yīng)用，必須先證明。

其次對于中值定理證明一般分為兩大類題型：第一應(yīng)用羅爾定理證明，也可又分為兩小類：證明結(jié)論簡單型和復(fù)雜型，簡單型一般有證明f'(ξ)=0，f'(ξ)=k (k為任意常數(shù))，f'(ξ1)=g'(ξ2)，f''(ξ)=0，f''(ξ)=g''(ξ)，

像這樣的結(jié)論一般只需要找羅爾定理的條件就可以了，一般羅爾定理的前兩個條件題目均告知，只是要需找兩個不同點的函數(shù)值相等，需找此條件一般會運用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、積分中值定理、拉格朗日中值定理、極限的性質(zhì)、導數(shù)的定義等知識點。復(fù)雜型就是結(jié)論比較復(fù)雜，需要建立輔助函數(shù)，再使輔助函數(shù)滿足羅爾定理的條件。輔助函數(shù)的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在兩個點使之滿足某表達式。這樣的題目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理，處理思想把結(jié)論中相同字母放到等是一側(cè)首先處理。