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發(fā)布時(shí)間: 2016年03月23日

考研數(shù)學(xué)重災(zāi)區(qū)該如何破解

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2016考研數(shù)學(xué)重災(zāi)區(qū):中值定理證明思路

中值定理這塊一直都是很多考生的"災(zāi)難區(qū)",一直沒有弄清楚看到一個(gè)題目到底怎么思考處理,因此也是考研得分比較低的一塊內(nèi)容,如果考生能把中值定理的證明題拿下,那么我們就會(huì)比其他沒做上的同學(xué)要高一個(gè)臺(tái)階,也可以說這是一套"拉仇恨"的題目。下面考研就和大家來一起分析一下這塊內(nèi)容。

破解方法:

一、具體考點(diǎn)分析

首先我們必須弄清楚這塊證明需要的理論基礎(chǔ)是什么,相當(dāng)于我們的工具,那需要哪些工具呢?

第一:閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

最值定理:閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的必有最大值和最小值。

推論:有界性(閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)必有界)。

介值定理:閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)在最大值和最小值之間中任意一個(gè)數(shù),都可以在區(qū)間上找到一點(diǎn),使得這一點(diǎn)的函數(shù)值與之相對(duì)應(yīng)。

零點(diǎn)定理:閉區(qū)間連續(xù)函數(shù),區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)相異,則區(qū)間內(nèi)必有一點(diǎn)函數(shù)值為零。

第二:微分中值定理(一個(gè)引理,三個(gè)定理)

費(fèi)馬引理:函數(shù)f(x)在點(diǎn)ξ的某鄰域U(ξ)內(nèi)有定義,并且在ξ處可導(dǎo),如果對(duì)于任意的x∈U(ξ),都有f(x)≤f(ξ) (或f(x)≥f(ξ) ),那么f'(ξ)=0。

羅爾定理:如果函數(shù)f(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ,使得 f?(ξ)="0.

幾何上,羅爾定理的條件表示,曲線弧 (方程為 )是一條連續(xù)的曲線弧 ,除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線,且兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等。而定理結(jié)論表明:

弧上至少有一點(diǎn) ,曲線在該點(diǎn)切線是水平的。

拉格朗日中值定理:如果函數(shù)f(x)滿足:

(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);

在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ξ(a<ξ

加強(qiáng)版:如果函數(shù) f(x) 在積分區(qū)間[a, b]上連續(xù),則在 (a, b)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ξ,使下式成立


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第四:變限積分求導(dǎo)定理: 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),則積分變上限函數(shù)在[a,b]上具有導(dǎo)數(shù),并且導(dǎo)數(shù)為:


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第五:牛頓--萊布尼茨公式:如果函數(shù)f(x) 在區(qū)間[a,b] 上連續(xù),并且存在原函數(shù)F(x) ,則


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以上定理要求理解并掌握定理內(nèi)容和相應(yīng)證明過程。

二、注意事項(xiàng)

針對(duì)上文中具體的考點(diǎn),佟老師再給出幾點(diǎn)注意事項(xiàng),這幾個(gè)注意事項(xiàng)也是在證明題中的"小信號(hào)",希望大家理解清楚并掌握:

1. 所有定理中只有介值定理和積分中值定理中的ξ所屬區(qū)間是閉區(qū)間。

2. 拉格朗日中值定理是函數(shù)f(x)與導(dǎo)函數(shù)f'(x)之間的橋梁。

3. 積分中值定理是定積分與函數(shù)之間的橋梁。

4. 羅爾定理和拉格朗日中值定理處理的對(duì)象是一個(gè)函數(shù),而柯西中值定理處理的對(duì)象是兩個(gè)函數(shù),如果結(jié)論中有兩個(gè)函數(shù),形式與柯西中值定理的形式類似,這時(shí)就要想到我們的柯西中值定理。

5. 積分中值定理的加強(qiáng)版若在定理證明中應(yīng)用,必須先證明。

其次對(duì)于中值定理證明一般分為兩大類題型:第一應(yīng)用羅爾定理證明,也可又分為兩小類:證明結(jié)論簡(jiǎn)單型和復(fù)雜型,簡(jiǎn)單型一般有證明f'(ξ)=0,f'(ξ)=k (k為任意常數(shù)),f'(ξ1)=g'(ξ2),f''(ξ)=0,f''(ξ)=g''(ξ),

像這樣的結(jié)論一般只需要找羅爾定理的條件就可以了,一般羅爾定理的前兩個(gè)條件題目均告知,只是要需找兩個(gè)不同點(diǎn)的函數(shù)值相等,需找此條件一般會(huì)運(yùn)用閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、積分中值定理、拉格朗日中值定理、極限的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)。復(fù)雜型就是結(jié)論比較復(fù)雜,需要建立輔助函數(shù),再使輔助函數(shù)滿足羅爾定理的條件。輔助函數(shù)的建立一般借助于解微分方程的思想。第二就是存在兩個(gè)點(diǎn)使之滿足某表達(dá)式。這樣的題目一般利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理,處理思想把結(jié)論中相同字母放到等是一側(cè)首先處理。

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