高三數(shù)學(xué)章末綜合測試題（11）不等式、推理與證明
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符號題目要求的)
1．已知a，b，c∈R，那么下列命題中正確的是( )
A．若a>b，則ac2>bc2 B．若ac>bc，則a>b
C．若a3>b3且ab<0，則1a>1b D．若a2>b2且ab>0，則1a<1b
解析 C 當(dāng)c＝0時(shí)，可知選項(xiàng)A不正確；當(dāng)c<0時(shí)，可知B不正確；由a3>b3且ab<0知a>0且b<0，所以1a>1b成立；當(dāng)a<0且b<0時(shí)，可知D不正確．
2．若集合A＝{x||x－2|≤3，x∈R}，B＝{y|y＝1－x2，x∈R}，則A∩B＝( )
A．[0,1] B．[0，＋∞)
C．[－1,1] D．?
解析 C 由|x－2|≤3，得－1≤x≤5，即A＝{x|－1≤x≤5}；B＝{y|y≤1}．故A∩B＝[－1,1]．
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為( )
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23
解析 D 當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋23.
4．已知x，y，z∈R＋，且xyz(x＋y＋z)＝1，則(x＋y)(y＋z)的最小值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 B ∵(x＋y)(y＋z)＝xy＋y2＋xz＋yz＝y(tǒng)(x＋y＋z)＋xz＝y(tǒng)×1xyz＋xz＝1xz＋xz≥21xz?xz＝2，當(dāng)且僅當(dāng)xz＝1，y(x＋y＋z)＝1時(shí)，取“＝”，
∴(x＋y)(y＋z)min＝2.
5．要證a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明( )
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a(chǎn)2＋b2－1－a4＋b42≤0
C.?a＋b?22－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析 D 因?yàn)閍2＋b2－1－a2b2≤0?(a2－1)(b2－1)≥0，故選D.
6．對于平面α和共面的直線m、n，下列命題為真命題的是( )
A．若m⊥α，m⊥n，則n∥α B．若m∥α，n∥α，則m∥n
C．若m?α，n∥α，則m∥n D．若m、n與α所成的角相等，則m∥n
解析 C 對于平面α和共面的直線m，n，真命題是“若m?α，n∥α，則m∥n”．
7．若不等式2x2＋2kx＋k4x2＋6x＋3<1對于一切實(shí)數(shù)都成立，則k的取值范圍是( )
A. (－∞，＋∞) B. (1,3)
C. (－∞，3) D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
解析 B ∵4x2＋6x＋3＝4x2＋32x＋3＝4x＋342＋34≥34，
∴不等式等價(jià)于2x2＋2kx＋k<4x2＋6x＋3，
即2x2＋(6－2k)x＋3－k>0對任意的x 恒成立，
∴Δ＝(6－2k)2－8(3－k)<0，∴1
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a>0)滿足f(m)<0，則f(m＋1)的符號是( )
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
解析 C ∵f(x)的對稱軸為x＝－12，f(0)＝a>0，
∴由f(m)<0，得－1
0，∴f(m＋1)>f(0)>0.
9．已知a>0，b>0，則1a＋1b＋2ab的最小值是( )
A．2 B．22
C．4 D．5
解析 C ∵a>0，b>0， ∴1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號，∴1a＋1b＋2abmin＝4.
10．使不等式log2x(5x－1)>0成立的一個(gè)必要不充分條件是( )
A．x>12 B.1512
C.1512
解析 D log2x(5x－1)>0?
5x－1>0，2x>1，5x－1>1或5x－1>0，0<2x<1，5x－1<1?x>15，x>12，x>25或x>15，0
∴x>12或1512或1512 或0
11．假設(shè)f(x)＝x2－4x＋3，若實(shí)數(shù)x、y滿足條件f(y)≤f(x)≤0，則點(diǎn)(x，y)所構(gòu)成的區(qū)域的面積等于( )
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析 B 由f(y)≤f(x)≤0可得f?y?≤f?x?，f?x?≤0，即1≤x≤3，?x－y??x＋y－4?≥0，
畫出其表示的平面區(qū)域如圖所示，可得面積S＝2×12×2×1＝2，故選B.
12．設(shè)x，y 滿足約束條件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為12，則2a＋3b的最小值為( )
A.256 B.83
C.113 D．4
解析 A 作出可行域(四邊形OBAC圍成的區(qū)域，包括邊界)如圖，作出直線l：ax ＋by＝0，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z＝ax＋by取得最大值．
解x－y＋2＝0，3x－y－6＝0，得點(diǎn)A(4,6)，∴4a＋6b＝12，即a3＋b2＝1，
∴2a＋3b＝2a＋3ba3＋b2＝23＋32＋ab＋ba≥23＋32＋2＝256，當(dāng)且僅當(dāng)a ＝b時(shí)取等號．
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．已知等差數(shù)列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，則在等比數(shù)列{bn}中，會有類似的結(jié)論：___ _____.
解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12…b20＝30b1b2…b30 .
【答案】 10b11b12…b20＝30b1b2…b30
14．已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件x－y＋4≥0，x＋y≥0，x≤3，則z＝4x2－y的最小值為________．
解析 作出不等式組所表示的可行域(圖略)，z＝4x2－y＝22x?2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝4x2－y的最小值為2－2＝14.
【答案】 14
15．某公司租地建倉庫，每月占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比．如果在距離車站10 km處建倉庫，這項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元，那 么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站________ km處．
解析 設(shè)倉庫建在離車站d km處，
由已知y1＝2＝k110，得k1＝20，∴y1＝20d. 由y2＝8＝10k2，得k2＝45，∴y2＝45d.
∴y1＋y2＝20d＋4d5≥220d?4d5＝8，當(dāng)且僅當(dāng)20d＝4d5，即d＝5時(shí)，費(fèi)用之和最小．
【答案】 5
16．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足________．
解析 由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
【答案】 a2>b2＋c2
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)已知表中的對數(shù)值有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的.
x 1.5 3 5 6
lg x 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c
x 7 8 9 14 27
lg x 2(a＋c) 3(1－a－c) 2(2a－b) 1－a＋2b 3(2a－b)
(1)假設(shè)上表中l(wèi)g 3＝2a－b與lg 5＝a＋c都是正確的，試判斷l(xiāng)g 6＝1＋a－b－c是否正確？給出判斷過程；
(2)試將兩個(gè)錯(cuò)誤的對象值均指出來并加以改正(不要求證明)．
解析 (1)由lg 5＝a＋c得lg 2＝1－a－c，
∴l(xiāng)g 6＝lg 2＋lg 3＝1－a－c＋2a－b＝1＋a－b－c，
滿足表中數(shù)值，即lg 6在假設(shè)下是正確的．
(2)lg 1.5與lg 7是錯(cuò)誤的，
正確值應(yīng)為lg 1.5＝lg32＝lg 3－lg 2＝2a－b－1＋a＋c＝3a－b＋c－1.
lg 7＝lg 14－lg 2＝1－a＋2b－1＋a＋c＝2b＋c.
18．(12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解關(guān)于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集為(－1,3)，求實(shí)數(shù)a、b的值．
解析 (1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0
即a2－6a－3<0，解得3－23
∴不等式解集為{a|3－23
(2)f(x)>b的解集為(－1,3)，
即方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的兩根為－1,3，
∴2＝a?6－a?3，－3＝－6－b3， 解得a＝3±3，b＝－3.
19．(12分)(2011?南京模擬)已知數(shù)列{an}滿足a 1＝0，a2＝1，當(dāng)n∈N*時(shí)，an＋2＝an＋1＋an.求證：數(shù)列{an}的第4m＋1(m∈N*)項(xiàng)能被3整除．
解析 (1)當(dāng)m＝1時(shí)，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a 1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即當(dāng)m＝1時(shí)，第4m＋1項(xiàng)能被3整除．命題成立．
(2)假設(shè)當(dāng)m＝k時(shí)，a4k＋1能被3整除，則當(dāng)m＝k＋1時(shí)，
a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
顯然，3a4k＋2能被3整除，又由假設(shè)知a4k＋1能被3整除，
∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．
即當(dāng)m＝k＋1時(shí)，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命題也成立．
由(1)和(2)知，對于任意n∈N*，數(shù)列{an}中的第4m＋1(m∈N*)項(xiàng)能被3整除．
20．(12分)設(shè)二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋a，方程 f(x)－x＝0的兩根x1和x2滿足0
(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)試比較f(0)f(1)－f(0)與116的大小，并說明理由．
解析 (1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，
由題意可得Δ>0，0<1－a2<1，g?1?>0，g?0?>0?a<3－22或a>3＋22，－10
?0
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3－22)．
(2)f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，
令h(a)＝2a2，∵當(dāng)a>0時(shí)，h(a)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)0
即f(0)f(1)－f(0)<116.
21．(12分)已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(an，an＋1)(n∈N*)在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn?bn＋2
解析 (1)由已知得an＋1＝an＋1，則an＋1－an＝1，又a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知，an＝n，從而bn＋1－bn＝2n.
當(dāng)n≥2時(shí)，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.
又b1＝1也適合上式，所以bn＝2n－1，
bn?bn＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2?2n＋1＋1 )
＝－2n<0.
所以bn?bn＋2
22．(12分)某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐．已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？
解析 設(shè)該兒童分別預(yù)定x，y個(gè)單位的午餐和晚餐，共需z元，則z＝2.5x＋4y.
可行域?yàn)?2x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，x≥0，y≥0，即3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27，x≥0，y≥0，
作出可行域如圖陰影部分所示，所以當(dāng)x＝4，y＝3時(shí)，花費(fèi)最少，zmin＝22元．
因此，分別預(yù)定4個(gè)單位午餐和3個(gè)單位晚餐，就滿足要求了．
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