“波的干涉”問題解析

頻率相同的兩列波在相遇的區(qū)域中將形成某些區(qū)域的振動(dòng)始終加強(qiáng)，某些區(qū)域的振動(dòng)始終減弱，且振動(dòng)加強(qiáng)與減弱的區(qū)域相互間隔的穩(wěn)定干涉現(xiàn)象；本文從以下幾個(gè)方面來探討“波的干涉”問題的分析方法與過程。

一、波的干涉圖象及位移、速度的合成與能量問題：注意波峰與波峰、波谷與波谷相遇而疊加時(shí)，此質(zhì)點(diǎn)的合振幅必為最大，故此位置必形成干涉加強(qiáng)；波峰與波谷相遇而疊加時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的合振幅必為最小，故此位置必形成干涉減弱；二振動(dòng)的平衡位置相遇且二振動(dòng)在某點(diǎn)處引起的速度方向相同時(shí)，則該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)能量必最大，故該位置必形成干涉加強(qiáng)；二振動(dòng)的平衡位置相遇且二振動(dòng)在某點(diǎn)處引起的速度方向相反時(shí)，則該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)能量必最小，故該位置必形成干涉減弱。

例1 圖1中為兩個(gè)相干波源發(fā)出的波相遇時(shí)某時(shí)刻的情況，圖中實(shí)線表示波峰，虛線表示波谷；相干波的振幅均為5cm，波速與波長(zhǎng)分別為；點(diǎn)C為相鄰圓弧間的中央處的同心圓的交點(diǎn)。則：⑴此時(shí)圖中標(biāo)示的點(diǎn)中振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)有________，振動(dòng)最弱的點(diǎn)有______；⑵從該時(shí)刻起經(jīng)過個(gè)周期時(shí)位移為0的點(diǎn)有__________；⑶圖示時(shí)刻A、B二點(diǎn)在振動(dòng)方向上的高度差為______________；⑷圖示時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)C的位置與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為________________________________；⑸從圖示時(shí)刻起經(jīng)過，質(zhì)點(diǎn)B通過的路程為________。

分析：由圖1知點(diǎn)A、E為波峰與波峰相遇，故A、E點(diǎn)的合振幅必最大即為振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)；點(diǎn)B為波谷與波谷相遇合振幅也最大，仍為振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)；點(diǎn)D、F為波峰與波谷相遇故其合振幅為0即為振動(dòng)最弱的點(diǎn)；對(duì)點(diǎn)C因?yàn)槭窍噜張A弧間的中央處的同心圓的交點(diǎn)，即為過E、F的二圓弧間（圓心在右上角的圓）的中央處的同心圓與過E、B的二圓弧間（圓心在左上角的圓）的中央處的同心圓的交點(diǎn)，故點(diǎn)C距過B點(diǎn)的二波谷間的距離（圖1中的二粗短線段示）必均為個(gè)波長(zhǎng)，因而此時(shí)二振動(dòng)傳到點(diǎn)C的狀態(tài)必為平衡位置，那么二振動(dòng)在點(diǎn)C的合成如圖2示，波從B向C傳播故二振動(dòng)在點(diǎn)C產(chǎn)生的速度方向必均向負(fù)方向且有最大速度，故點(diǎn)C必有向負(fù)方向的最大合速度，因而點(diǎn)C的振動(dòng)能量為最大值，那么點(diǎn)C必為振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)。

⑴此時(shí)振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)有：A、B、E、C，其合振幅必為10cm，振動(dòng)最弱的點(diǎn)有D、F；

⑵從該時(shí)刻起經(jīng)過個(gè)周期時(shí)點(diǎn)A、B、D、E、F必為平衡位置相遇而使合位移為0，而點(diǎn)C則為波峰與波峰相遇使其合位移為最大；

⑶圖示時(shí)刻A點(diǎn)為二波峰相遇，故點(diǎn)A此時(shí)離開平衡位置的位移為10；此時(shí)點(diǎn)B為二波谷相遇，故點(diǎn)B離開平衡位置的位移為；因而A、B二點(diǎn)在振動(dòng)方向上的高度差為20；

⑷由上述分析知此時(shí)點(diǎn)C必位于平衡位置且有向負(fù)方向的最大速度。（注：由于波的干涉中的明、暗條紋是以二波源為焦點(diǎn)的雙曲線，故點(diǎn)C不是雙曲線上BE直線的中點(diǎn)）

⑸由題中條件得出波的周期為，故質(zhì)點(diǎn)B在半個(gè)周期內(nèi)必將從合振動(dòng)的波谷運(yùn)動(dòng)到波峰處，故B點(diǎn)經(jīng)過的路程必為20。

附：圖1-1中M、N是振動(dòng)情況完全相同的二水平傳播的簡(jiǎn)諧波的波源，P、Q分別位于M、N連線的中垂線上，且PQ＝QR。某時(shí)刻P是兩列波的波峰相遇點(diǎn)，R是與P相鄰的兩列波的波谷相遇點(diǎn)，那么

A：Q處質(zhì)點(diǎn)的位移總是0

B：Q處質(zhì)點(diǎn)的位移為0，并正向正方向運(yùn)動(dòng)

C：Q處質(zhì)點(diǎn)的位移為正，并正向正方向運(yùn)動(dòng)

D：Q處質(zhì)點(diǎn)位移為負(fù)，并正向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。

分析：波源M、N發(fā)出的波均要向P、Q、R傳播，現(xiàn)過P、R作PM、RM的平行線AR、AP，故APMR必為平行四邊形，連接MA其與PR的交點(diǎn)必為Q點(diǎn)；故即…………①，由于P為波峰而R為相鄰波谷則有即…………②，由①②那么，即。如圖示，由于P處為二波峰相遇而R處為相鄰波谷相遇，故Q點(diǎn)不是二平衡位置的相遇而是到達(dá)平衡位置前的相遇點(diǎn)，故Q點(diǎn)必在位移為正的位置上且正向正方向運(yùn)動(dòng)。

二、穩(wěn)定干涉中的最強(qiáng)與最弱點(diǎn)的條件與應(yīng)用問題：二振動(dòng)方向相同、頻率相同、初相差為的二波源S₁、S₂產(chǎn)生的兩列波某時(shí)刻在空間某點(diǎn)P所引起的相位差必為,故:

⑴當(dāng)，即，其中k＝0、1、2……時(shí)，點(diǎn)P必為干涉最強(qiáng)的點(diǎn)；

⑵當(dāng)，即，且k＝1、2、3……時(shí)，點(diǎn)P必為干涉最弱的點(diǎn)。

注：在我們常見的問題中都將二波源的振動(dòng)情況當(dāng)作完全相同，故二波源的初相差為，即得到時(shí)P為振動(dòng)最強(qiáng)的位置，而時(shí)P為振動(dòng)最弱的位置；因而在解答問題時(shí)我們要注意初相。

例2 圖3在Y軸上的A、B兩點(diǎn)放著兩個(gè)相干波源，它們激起的波的波長(zhǎng)均為2米，且A、B二質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向均與紙面垂直；二波源的縱坐標(biāo)為；那么：⑴當(dāng)二波源的振動(dòng)情況完全相同時(shí)，⑵當(dāng)二波源的振動(dòng)方向恰好相反時(shí)，⑶當(dāng)波源A垂直于紙面向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過平衡位置時(shí)波源B恰位于紙面外的最遠(yuǎn)點(diǎn)處，則在X軸上從的位置上會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)？

分析：從波源A、B發(fā)出的波可傳播到整個(gè)X軸上的各點(diǎn)

⑴當(dāng)二波源的振動(dòng)情況完全相同時(shí)，首先考慮兩波源發(fā)出的波在X軸正半軸上任一點(diǎn)P相遇的路程差必滿足，由時(shí)P為振動(dòng)最強(qiáng)的位置有，故即，由于為整數(shù)故應(yīng)當(dāng)取0、1、2；再利用對(duì)稱性知在X軸負(fù)方向仍有為-1、-2兩個(gè)位置，因此在X軸上從的位置上會(huì)出現(xiàn)5個(gè)振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)。

⑵當(dāng)二波源的振動(dòng)方向恰好相反時(shí)則二波源振動(dòng)的初相位為，在X軸正半軸上任一點(diǎn)P相遇的路程差仍滿足，由可得 即，故k應(yīng)當(dāng)取1、2、3，由于對(duì)稱性知在X軸負(fù)方向仍有k為-1、-2、-3三個(gè)位置，故在X軸上從的位置上會(huì)出現(xiàn)6個(gè)振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)。

⑶當(dāng)波源A垂直于紙面向上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過平衡位置時(shí)波源B恰位于紙面外的最遠(yuǎn)點(diǎn)處，則二波源振動(dòng)的初相位為，因二波源發(fā)出的波在X軸正半軸上任一點(diǎn)P相遇的路程差仍滿足，故由可得即，故k應(yīng)當(dāng)取1、2、3，由于對(duì)稱性知在X軸負(fù)方向仍有k為-1、-2、-3三個(gè)位置，則在X軸上從 的位置上仍會(huì)出現(xiàn)6個(gè)振動(dòng)最強(qiáng)的點(diǎn)。

三、同一直線上傳播的波的干涉問題：注意干涉中的位移、速度的矢量合成及能量情況，且位移或速度的合為最大值的位置振動(dòng)必為最強(qiáng)，相反必為最弱。

例3 圖4中兩列簡(jiǎn)諧波均沿X軸傳播，速度大小相等，其中一列波沿X軸正方向傳播（實(shí)線示），一列波沿X軸負(fù)方向傳播（虛線示）；兩列波頻率相等，振動(dòng)方向均沿 Y軸；則圖中X＝0、1、2、3、4、5、6、7、8各點(diǎn)中振幅最大的點(diǎn)有__________，最小的點(diǎn)有________。

分析：0─8 的所有質(zhì)點(diǎn)均同時(shí)受兩列波共同作用，且由位移的矢量合成知此時(shí)各質(zhì)點(diǎn)的合位移均為0，因而用位移的疊加不能判定質(zhì)點(diǎn)的振幅大小。我們根據(jù)波形及波的傳播方向?qū)⒋藭r(shí)二波在各質(zhì)點(diǎn)上所產(chǎn)生的速度作于圖中示，由圖知二波對(duì)0、4、8點(diǎn)產(chǎn)生的速度最大且方向相同，故X＝0、4、8三點(diǎn)的合速度必最大能量最大，則此三點(diǎn)的振幅必為最大；X＝2、6兩點(diǎn)二波對(duì)其產(chǎn)生的速度均為0故其合速度為0能量為0，因而該兩點(diǎn)的振幅最小且為0。

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