關(guān)于力學(xué)的有趣小故事，幫助理解力學(xué)

家庭主婦們經(jīng)常抱怨：好端端的土豆，一削皮就露出里邊褐黑色的一塊塊壞斑，待到把這些壞區(qū)全削去，一顆土豆便所剩甚小。唉！

真可惜。奇怪的是，買土豆時任你怎么挑選，也總是避免不了有壞斑。這種倒霉的“內(nèi)傷”在蘋果、梨等水果中也時有遇到。

心細(xì)的學(xué)過力學(xué)的人，不難回答這個問題。原來毛病出在包裝運輸中。在裝車運輸土豆時人們總想裝得多以提高效率，殊不知裝車時的碰撞卻給土豆造成許多內(nèi)傷。裝得厚了，壓在底層的土豆可就倒了大霉，給壓壞了。蘋果、梨等水果運輸時多用箱子或簍子，每只箱簍的高度較小，所以壓壞的要少些，但要是車輛駛過？顛簸不平的路面，由于振動加大了壓力，處在箱底的水果　還是難免遭殃。

主婦們又要問了，壓壞的土豆，裂的、破的，一眼就能看出來，可又怎樣解釋表面上是好的內(nèi)部卻受傷的現(xiàn)象呢？

土豆和水果的“內(nèi)傷”問題正好是一個典型的接觸問題。

假定相互接觸的土豆為兩個半徑為R的彈性球，兩個球之間作用壓力為P.這時接觸處由于球的變形已不再是一點，而是一個半徑為a的圓，根據(jù)接觸問題的理論分析可以算出在球體內(nèi)最大剪應(yīng)力，而最大剪應(yīng)力不在接觸面上卻在距接觸面，上述各式中α，β，γ都是常數(shù)。

土豆和水果等許多材料都可以近似看為在最大剪應(yīng)力超過一定限度就產(chǎn)生破壞的材料。

上述公式表明最大剪應(yīng)力不發(fā)生在表面而在深層。而且半徑和壓力愈大，深度也愈大。實際接觸物體形狀雖然各式各樣，但上述基本規(guī)律則是共同的， 這就是為什么土豆外表完好而內(nèi)傷累累的原因。土豆裝運只要超過一定高度，總有一大層土豆難逃這種厄運， 每年由此而扔掉的土豆和水果以千噸計， 所以改善包裝和運輸條件才是拯救這批土豆的根本辦法。學(xué)一點接觸問題是很有必要的。

在日常生活中我們經(jīng)常遇到與接觸問題有關(guān)的現(xiàn)象。

《三國演義》上有一回說到張翼德用柳條鞭笞督郵，可以想象那貪臟枉法的督郵被打得皮開肉綻。在《水滸》中，我們又看到梁山好漢落在敵人之手，不免要挨殺威棒。三國時候的張飛畢竟是直性子，打人只用柳條，柳條的直徑一般較小，所以引起督郵的傷也不過皮肉之苦而已。宋朝的衙役們可比張飛狡猾多了，棍棒直徑自比柳條大了許多倍，受棒者傷在深層，甚至傷筋斷骨，而皮膚表面卻完好無損。

到了法西斯的監(jiān)獄里，發(fā)明了一種用橡皮包著鋼絲的刑具，外觀柔軟，半徑又比較大，抽在人身上既不傷筋動骨，外表又看不出異樣，但遭受到的內(nèi)傷卻是痛徹骨髓的這恐怕是反動統(tǒng)治者挖空心思利用科學(xué)成果的巧思吧。

搟面，為了把面搟開，面的深部破壞了或者發(fā)生了永久變形，面才能搟開。面塊大就要用粗的搟，而搟餃子皮就必須用細(xì)搟仗了。這個道理用在壓路機上，你大概注意到壓路機的滾子有近一米多直徑吧，這就是希望它把路面的深層壓得結(jié)實。當(dāng)然，除了半徑大外，壓路機還要重， 因為壓力P大了深部的應(yīng)力也愈大。

在工程技術(shù)中，接觸問題的應(yīng)用十分普遍。主要是如下三大類問題：第一類是接觸應(yīng)力造成表面或深層的破裂會引起機器或工程破壞的事故， 如軸承、齒輪、滾珠等表面剝落。這時應(yīng)用接觸問題的理論目的是為了要減少這種破裂以避免事故；第二類利用接觸應(yīng)力進(jìn)行加工，如軋鋼機的軋滾，壓力加工的沖頭與模具的設(shè)計，都要利用接觸問題理論結(jié)果使被加工物件易于變形而加工工具卻十分耐用；第三類問題是碰撞問題，車船飛機的碰撞可以看為一類特殊的接觸問題。例如高速飛機和空中的飛鳥相撞會引起嚴(yán)重的結(jié)構(gòu)破壞而造成空難。

正由于接觸問題廣泛存在于工程技術(shù)中，所以它一直受到工程師與力學(xué)家的注意與深入研究。

歷史上最早研究并獲得重要進(jìn)展的是德國人Hertz在1881年取得的。他假定兩個彈性體在接觸點鄰近為兩個二次曲面，在外部正壓力下接觸面為橢圓。橢圓的形狀、接觸面的壓力分布，以及物體內(nèi)應(yīng)力分布都可以表為解析表達(dá)式。這個問題稱為彈性力學(xué)的Hertz問題。我們前面說的兩個球接觸問題就是它的特殊情形。

其實，近代提出的接觸問題更加復(fù)雜得多。各種不同形狀的物體和結(jié)構(gòu)相接觸，考慮物體的彈塑性，蠕變及各種物理因素的變化，考慮接觸面間的摩擦力和滑動，考慮物體慣性的碰撞接觸問題等等不一而足。

接觸問題經(jīng)過一百多年的研究，已經(jīng)能近似解決許多實際問題了，但它仍然存在許多十分因難的問題尚待解決，對于比較復(fù)雜的問題人們往往利用大型計算機去求數(shù)值解。即使如此，由于計算量很大，仍然沒法很好的解決。舉例說，一個均勻的彈性球，從某一高度在重力作用下落到均勻彈性半空間上，它的彈跳高度如何？這個問題看來是非常簡單而又干凈的，但請試解一解，它仍然是力學(xué)界的難題。更不要說十分復(fù)雜結(jié)構(gòu)的碰撞接觸問題了。

接觸問題之所以困難，是由于它實質(zhì)上是一類非線性問題。我們知道經(jīng)典彈性力學(xué)大部分是線性的，線性彈性問題的提法是在給定邊界上，應(yīng)力或位移為已知的條件下求解一組彈性力學(xué)線性方程。而在接觸問題中，接觸邊界的應(yīng)力位移是待求的，而邊界上的位移和應(yīng)力以及邊界本身又依賴于問題在物體內(nèi)部的應(yīng)力與位移。這種困難問題，隨著工程技術(shù)的發(fā)展不斷提出新的挑戰(zhàn)，迫使人們?nèi)ミM(jìn)行更深入的研究，它構(gòu)成了彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)和計算固體力學(xué)各個分支學(xué)科交叉研究的熱點課題，同時還吸引了不少數(shù)學(xué)家的注意。

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