一些好用的高中數(shù)學(xué)橢圓解題方法

　　一、設(shè)點(diǎn)或直線

　　做題一般都需要設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)或直線方程，其中點(diǎn)或直線的設(shè)法有很多種。其中點(diǎn)可以設(shè)為

　　,

　　等，如果是在橢圓

　　上的點(diǎn)，還可以設(shè)為

　　。一般來說，如果題目中只涉及到唯一一個(gè)橢圓上的的動(dòng)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以設(shè)為

　　。還要注意的是，很多點(diǎn)的坐標(biāo)都是設(shè)而不求的。對(duì)于一條直線，如果過定點(diǎn)

　　并且不與y軸平行，可以設(shè)點(diǎn)斜式

　　,如果不與x軸平行，可以設(shè)

　　，如果只是過定點(diǎn)，可以設(shè)參數(shù)方程

　　，其中α是直線的傾斜角。一般題目中涉及到唯一動(dòng)直線時(shí)可以設(shè)直線的參數(shù)方程。

　　二、轉(zhuǎn)化條件

　　有的時(shí)候題目給的條件是不能直接用或直接用起來不方便的，這時(shí)候就需要將這些條件轉(zhuǎn)化一下。對(duì)于一道題來說這是至關(guān)重要的一步，如果轉(zhuǎn)化得巧，可以極大地降低運(yùn)算量。比如點(diǎn)在圓上可以轉(zhuǎn)化為向量點(diǎn)乘得零，三點(diǎn)共線可以轉(zhuǎn)化成兩個(gè)向量平行，某個(gè)角的角平分線是一條水平或豎直直線則這個(gè)角的兩條邊斜率和是零。

　　有的題目可能不需要轉(zhuǎn)化直接帶入條件解題即可，有的題目給的條件可能有多種轉(zhuǎn)化方式，這時(shí)候最好先別急著做題，多想幾種轉(zhuǎn)化方法，估計(jì)一下哪種方法更簡(jiǎn)單。

　　三、代數(shù)運(yùn)算

　　轉(zhuǎn)化完條件就剩算數(shù)了。很多題目都要將直線與橢圓聯(lián)立以便使用一元二次方程的韋達(dá)定理，但要注意并不是所有題目都是這樣。有的題目可能需要算弦長(zhǎng)，可以用弦長(zhǎng)公式

　　，設(shè)參數(shù)方程時(shí)，弦長(zhǎng)公式可以簡(jiǎn)化為

　　解析幾何中有時(shí)要求面積，如果O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓上兩點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為

　　和

　　，AB與x軸交于D，則

　　(d是點(diǎn)O到AB的距離；第三個(gè)公式是我自己推的，教材上沒有，解答題慎用)。

　　解析幾何中很多題都有動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)直線。如果題目只涉及到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可以考慮用參數(shù)設(shè)點(diǎn)。若是只涉及一個(gè)過定點(diǎn)的動(dòng)直線，題目中又涉及到求長(zhǎng)度面積之類的東西，這時(shí)設(shè)直線的參數(shù)方程會(huì)簡(jiǎn)單一些。

　　在解析幾何中還有一種方法叫點(diǎn)差法，設(shè)橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩點(diǎn)在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點(diǎn)的中點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)與這兩點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系式。

　　四、能力要求

　　做解析幾何題，首先對(duì)人的耐心與信心是一種考驗(yàn)。在做題過程中可能遇到會(huì)一大長(zhǎng)串的式子要化簡(jiǎn)，這時(shí)候，只要你方向沒錯(cuò)，堅(jiān)持算下去肯定能看到最終的結(jié)果。另外運(yùn)算速度和準(zhǔn)確率也是很重要的，在真正考試的時(shí)候肯定不像平時(shí)做題的時(shí)候能容你慢慢做題，因此需要有一定的做題速度，在做題的時(shí)候運(yùn)算準(zhǔn)確也是必須要保證的，因?yàn)橐坏┧沐e(cuò)數(shù)，就很可能功虧一簣。

　　五、理論拓展

　　這一部分主要說一些對(duì)做題有幫助的公式、定理、推論等內(nèi)容

　　關(guān)于直線：

　　1、將直線的兩點(diǎn)式整理后，可以得到這個(gè)方程:

　　。據(jù)此可以直接寫出過

　　和

　　兩點(diǎn)的直線，至于這兩點(diǎn)連線是否與x軸垂直，是否與y軸垂直都沒有關(guān)系。對(duì)于一些坐標(biāo)很復(fù)雜的點(diǎn)，可以直接代入這個(gè)方程便捷的得到過兩點(diǎn)的直線。

　　2、直線一般式Ax By C=0表示的這條直線和向量（A,B）垂直；過定點(diǎn)

　　的直線的一般式可以寫為

　　。根據(jù)這兩條推論可以快速地寫出兩點(diǎn)的垂直平分線的方程。

　　關(guān)于橢圓：

　　3、橢圓

　　的焦點(diǎn)弦弦長(zhǎng)為

　?。ㄆ渲笑潦侵本€的傾斜角，k是l的斜率）。右焦點(diǎn)的焦點(diǎn)弦中點(diǎn)坐標(biāo)為

　　，將橫縱坐標(biāo)都取相反數(shù)可得左焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)。

　　4、根據(jù)橢圓的第二定義，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到同一側(cè)的準(zhǔn)線的距離之商等于橢圓的離心率。橢圓

　　的準(zhǔn)線是

　　。

　　上面給出的幾個(gè)內(nèi)容大都是教材中沒有的，但這不代表這些東西在考場(chǎng)上不能用。比如前兩條內(nèi)容，用的時(shí)候稍稍變換一下，老師也不一定知道你是在套結(jié)論。如果想用第三條的話，可以裝模作樣地算算，實(shí)際上再套用結(jié)論，估計(jì)老師也未必能看出來。至于第4個(gè)內(nèi)容，直接用有一定風(fēng)險(xiǎn)，如果用上能解題的話，不到山窮水盡也最好還是別用。用這些結(jié)論，都能或多或少地減小運(yùn)算量，降低算錯(cuò)的幾率。

　　下面看幾道例題。建議大家看解題過程之前最好先自己做一做。

　　就算不做也一定要看啊，里面涉及到有好多方法的！

　　例1

　　例2

　　例3

　　例4

　　例5

　　作者：郝赫