新東方老師孟祥飛解析海淀高三數(shù)學(xué)期中考試重點(diǎn)

　　導(dǎo)數(shù)基本問題概述：

　　一、求單調(diào)區(qū)間：

　　（1）整體解題策略是1求導(dǎo)去正（常見通分去恒正分母，提取去恒正指數(shù)）求根（即導(dǎo)數(shù)圖像的交點(diǎn)，也為極值點(diǎn)）；2分類討論（開口、斜率，根存在、大小，定義域）；3作導(dǎo)數(shù)圖看正負(fù)寫單調(diào)區(qū)間。

　?。?）如果導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，最重要的為兩種導(dǎo)數(shù)根的討論（大小性與存在性）：

　?。╥）如果求根時不能因式分解，需要套求根公式（或者沒有一次項的二次情況需要移項開方），這種根稱之為無理根，無理根討論其存在性，被開方數(shù)（即德爾塔）大于零則根存在，畫導(dǎo)數(shù)圖像出現(xiàn)兩個交點(diǎn)，圖像正負(fù)看圖可得；如果被開方數(shù)小于等于零，根不存在或兩根相等，畫導(dǎo)數(shù)圖像可知導(dǎo)數(shù)恒正（開口向下則恒負(fù)）。討論存在性分兩類。

　?。╥i）如果求根時能因式分解，需要十字相乘得根（或者沒有常數(shù)項的二次情況需要提取x因式分解），這種根稱之為有理根，有理根討論大小性；兩根不等的兩類，畫導(dǎo)數(shù)圖像出現(xiàn)兩個交點(diǎn)，圖像正負(fù)看圖可得；如果兩根相等，畫導(dǎo)數(shù)圖像可知導(dǎo)數(shù)恒正（開口向下則恒負(fù)）。討論大小性分三類。

　　（4）求單調(diào)區(qū)間難點(diǎn)在于，如果開口、斜率，根存在、大小，定義域有多件事情需要討論，會難度較大，此時的解決方案為求出分界點(diǎn)，采用分界點(diǎn)法進(jìn)行分類討論。

　　二、區(qū)間最值問題：

　　（1）整體解題策略，可以看做是求單調(diào)區(qū)間的延續(xù)，先討論單調(diào)性，然后利用單調(diào)性換原原函數(shù)圖像，最后數(shù)形結(jié)合求出最值。

　?。?）區(qū)間最值其中一個難點(diǎn)是出現(xiàn)了“區(qū)間”作為函數(shù)的人為定義域，所以需要討論定義域。另外在人為定義域“區(qū)間”下，有些題目還可以增加求導(dǎo)去正的可能性。

　?。?）區(qū)間最值，在得到原函數(shù)圖像后，可能會出現(xiàn)比大小的討論。比大小的討論會出現(xiàn)在兩種情景中。

　?。╥）如果得到區(qū)間內(nèi)圖象為“V”型的單極值函數(shù)圖象，求最大值則需比較端點(diǎn)函數(shù)的大?。ǖ埂癡”型則相似）

　　（ii）如果得到區(qū)間內(nèi)圖象為“N”型的雙極值函數(shù)圖象，無論求最大值還是最小值都需要比較一側(cè)端點(diǎn)值與極值的大小。

　　三、不等式成立問題：

　?。?）不等式問題可以理解為區(qū)間最值的延續(xù)，不等式成立，轉(zhuǎn)化最值成立，求出最值后代入不等式，求解不等式解出參數(shù)即可，注意最終整合時候的先交后并，注意任意存在所求最值不一樣，從理解角度出發(fā)并無太大難處。

　　（2）不等式成立的有些題目可能需要變形，有些題目需要變形后在求最值，常見變形包含：雙側(cè)單個變量的移項到一側(cè)的變形，化簡變形，參變分離變形。

　?。?）不等式成立題目處理有時可以理解為兩個圖象的幾何意義，有時候稱之為轉(zhuǎn)化初等函數(shù)法。

　?。?）不等式成立題目在求最值的時候，如果遇見比大小的題目往往不需要比較大小，因?yàn)槲覀冎恍枋沟貌坏仁匠闪⒓纯?，這樣的話可以讓需比較大小的函數(shù)值都成立“取交集”（任意型不等式），或成立“取并集”（存在型不等式）

　　四、根、零點(diǎn)分布問題：

　?。?）方程根等價于移項到一側(cè)的函數(shù)零點(diǎn)，等價于圖像與x軸交點(diǎn)（有時也可以理解為垂直于y軸的直線的交點(diǎn)），所以實(shí)根分布問題可以看做是問題一求單調(diào)區(qū)間的另一種延續(xù)，先求導(dǎo)討論單調(diào)性，然后畫出原函數(shù)圖像，按照數(shù)形結(jié)合的思想使得極值與端點(diǎn)值異號，從圖中即可發(fā)現(xiàn)根、零點(diǎn)分布成立了。

　?。?）根、零點(diǎn)的問題類似于不等式成立的問題，有可能需要變形，有些題目需要變形后在求單調(diào)性作圖，雙側(cè)單個變量的移項到一側(cè)的變形，化簡變形，參變分離變形。

　?。?）根、零點(diǎn)的問題類似于不等式成立的問題，處理有時可以理解為兩個圖象的幾何意義，有時候稱之為轉(zhuǎn)化初等函數(shù)法。

　?。?）由于不等式成立還可以理解為函數(shù) 圖像在x軸上方或下方，某些不等式的題目也可以采用實(shí)根分布的做法來求解。

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