高三數(shù)學(xué)教案 不等式的性質(zhì)
一、明確
復(fù)習(xí)目標(biāo)
掌握不等式的性質(zhì)及其證明，能正確使用這些性質(zhì)解決一些簡單問題
二.建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)
1.比較原理：
兩實數(shù)之間有且只有以下三個大小關(guān)系之一：a>b;a
; ; .
以此可以比較兩個數(shù)(式)的大小，——作差比較法.
或作商比較：a>0時, ;a<0時, .
2.不等式的性質(zhì)：
(1)對稱性: ，
證明：(比較法)
(2)傳遞性: ，
(3)可加性: .
移項法則:
推論：同向不等式可加.
(4)可乘性: ，
推論1：同向(正)可乘:
證明：(綜合法)
推論2：可乘方(正):
(5) 可開方(正):
證明：(反證法)
不等式的性質(zhì)有五個定理,三個推論,一個比較原理,是解、證不等式的基礎(chǔ)，對于這些性質(zhì)，關(guān)鍵是正確理解和熟練運(yùn)用，要弄清每一個條件和結(jié)論，學(xué)會對不等式進(jìn)行條件的放寬和加強(qiáng)
三、雙基題目練練手
1.(2006春上海) 若 ，則下列不等式成立的是( )
A.? . B. . C. . D. .
2.(2004北京)已知a、b、c滿足 ，且 ，那么下列選項中不一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
3. 對于實數(shù)，下命題正確的是 ( )
A.若a
C.若 ,則 . D.若a>b>0,d>c>0,則
4.(2004春北京)已知三個不等式：ab>0，bc-ad>0， - >0(其中a、b、c、d均為實數(shù))，用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是
A.0 B.1 C.2 D.3
5.(2004遼寧)對于 ，給出下列四個不等式
① ②
③ ④
其中成立的是_________
6.a>b>0，m>0，n>0，則 ， ， ， 的由大到小的順序是____________.
練習(xí)簡答:1-4.CCCD; 5. ②與④; 6.特殊值法,答案： > > >
四、經(jīng)典例題做一做
【例1】已知a<2，
求c的取值范圍.
解：∵b≤2a
∴c=b-2a≤0,
∴ b-4> -2a= .
∴c的取值范圍是：
【例2】設(shè)f(x)=ax2 bx,且1≤f(-1) ≤2, 2≤f(1) ≤4 ,求f(-2)的取值范圍
解：由已知1≤a-b≤2, ①, 2≤a b≤4 ②
若將f(-2)=4a-2b用a-b與a b,表示，則問題得解
設(shè)4a-2b=m(a-b) n(a b), (m,n為待定系數(shù))
即4a-2b=(m n)a-(m-n)b,
于是得 得：m=3, n=1
由①×3 ②×1得5≤4a-2b≤10
即5≤f(-2)≤10,
另法：由 得
∴f(-2)=4a-2b=3 f(-1) f(1)……
◆特別提醒:常見錯解:由①②解出a和b的范圍,再湊出4a-2b的范圍.錯誤的原因是a和b不同時接近端點(diǎn)值,可借且于線性規(guī)劃知識解釋.
【例3】(1)設(shè)A=xn x-n，B=xn-1 x1-n，當(dāng)x∈R ，n∈N時， 比較A與B的大小.
(2)設(shè)00且a≠ ，試比較|log3a(1-x)3|與|log3a(1 x)3|的大小.
解: (1)A-B=(xn x-n)-(xn-1 x1-n)
=x-n(x2n 1-x2n-1-x)
=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]
=x-n(x-1)(x2n-1-1).
由x∈R ，x-n>0，得
當(dāng)x≥1時，x-1≥0，x2n-1-1≥0;
當(dāng)x<1時，x-1<0，x2n-1<0，即
x-1與x2n-1-1同號.∴A-B≥0.∴A≥B.
(2)∵0
①當(dāng)3a>1，即a> 時，
|log3a(1-x)3|-|log3a(1 x)3|
=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1 x)|
=3[-log3a(1-x)-log3a(1 x)]
=-3log3a(1-x2).
∵0<1-x2<1，∴-3log3a(1-x2)>0.
②當(dāng)0<3a<1，即0
|log3a(1-x)3|-|log3a(1 x)3|
=3[log3a(1-x) log3a(1 x)]
=3log3a(1-x2)>0.
綜上所述，|log3a(1-x)3|>|log3a(1 x)3|.
◆提煉
方法：(1)作差分解因式、配方或利用單調(diào)性,分類判斷差式的符號.
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