高三數(shù)學(xué)教案 直線與圓錐曲線的位置

 

高三數(shù)學(xué)教案 直線與圓錐曲線的位置

一、基本知識(shí)概要：

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：相交、相切、相離。

從代數(shù)的角度看是直線方程和圓錐曲線的方程組成的方程組，無(wú)解時(shí)必相離;有兩組解必相交;一組解時(shí)，若化為x或y的方程二次項(xiàng)系數(shù)非零，判別式⊿=0時(shí)必相切，若二次項(xiàng)系數(shù)為零，有一組解仍是相交。

2.　弦：直線被圓錐曲線截得的線段稱為圓錐曲線的弦。

焦點(diǎn)弦：若弦過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)叫焦點(diǎn)弦;

通徑：若焦點(diǎn)弦垂直于焦點(diǎn)所在的圓錐曲線的對(duì)稱軸，此時(shí)焦點(diǎn)弦也叫通徑。

3.①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，弦長(zhǎng)公式：

= 或當(dāng) 存在且不為零時(shí)

，(其中( )，( )是交點(diǎn)坐標(biāo))。

②拋物線 的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|= ，其中α為過(guò)焦點(diǎn)的直線的傾斜角。

4.重點(diǎn)難點(diǎn):直線與圓錐曲線相交、相切條件下某些關(guān)系的確立及其一些字母范圍的確定。

5.思維方式: 方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想、設(shè)而不求與整體代入的技巧。

6.特別注意:直線與圓錐曲線當(dāng)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)要除去兩種情況，些直線才是曲線的切線。一是直線與拋物線的對(duì)稱軸平行;二是直線與雙曲線的漸近線平行。

二、例題：

【例1】直線y=x 3與曲線 ( )

A。沒(méi)有交點(diǎn) B。只有一個(gè)交點(diǎn) C。有兩個(gè)交點(diǎn) D。有三個(gè)交點(diǎn)

〖解〗：當(dāng)x>0時(shí)，雙曲線 的漸近線為： ，而直線y=x 3的斜率為1，1<3/2，因此直線與雙曲線的下支有一交點(diǎn)，又y=x 3過(guò)橢圓 的頂點(diǎn)，k=1>0因此直線與橢圓左半部分有一交點(diǎn)，共計(jì)3個(gè)交點(diǎn)，選D

[思維點(diǎn)拔]注意先確定曲線再判斷。

【例2】已知直線 交橢圓 于A、B兩點(diǎn)，若 為 的傾斜角，且 的長(zhǎng)不小于短軸的長(zhǎng)，求 的取值范圍。

解：將 的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去 ，得

由 ，

的取值范圍是

[思維點(diǎn)拔]對(duì)于弦長(zhǎng)公式一定要能熟練掌握、靈活運(yùn)用民。本題由于 的方程由 給出，所以可以認(rèn)定 ，否則涉及弦長(zhǎng)計(jì)算時(shí)，還要討論 時(shí)的情況。

【例3】已知拋物線 與直線 相交于A、B兩點(diǎn)

(1) 求證：

(2) 當(dāng) 的面積等于 時(shí)，求 的值。

(1) 證明：圖見(jiàn)教材P127頁(yè)，由方程組 消去 后，整理得 。設(shè) ，由韋達(dá)定理得 在拋物線 上，

(2) 解：設(shè)直線與 軸交于N，又顯然 令

[思維點(diǎn)拔]本題考查了兩直線垂直的充要條件，三角形的面積公式，函數(shù)與方程的思想，以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

【例4】在拋物線y2=4x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx 3對(duì)稱，求k的取值范圍。

〖解〗設(shè)B、C關(guān)于直線y=kx 3對(duì)稱，直線BC方程為x=-ky m代入y2=4x得：

y2 4ky-4m=0， 設(shè)B(x1，y1)、C(x2，y2)，BC中點(diǎn)M(x0，y0)，則

y0=(y1 y2)/2=-2k。x0=2k2 m，

∵點(diǎn)M(x0，y0)在直線上。∴-2k(2k2 m) 3，∴m=- 又BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，∴⊿=16k2 16m>0把m代入化簡(jiǎn)得 即 ，

解得-1

[思維點(diǎn)拔]對(duì)稱問(wèn)題要充分利用對(duì)稱的性質(zhì)特點(diǎn)。

【例5】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1(0，-2 )，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=- ，且離心率e滿足：2/3，e，4/3成等比數(shù)列。

(1) 求橢圓方程;

(2) 是否存在直線 ，使 與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=- 平分。若存在，求 的傾斜角的范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

〖解〗依題意e=

(1)∵ -c= -2 = ，又e= ∴ =3，c=2 ，b=1，又F1(0，-2 )，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為y=- ?！鄼E圓中心在原點(diǎn)，所求方程為：

=1

(2)假設(shè)存在直線 ，依題意 交橢圓所得弦MN被x=- 平分，∴直線 的斜率存在。設(shè)直線 ： 由

=1消去y，整理得

=0

∵直線 與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N∴⊿=4k2m2-4(k2 9)(m2-9)>0

即m2-k2-9<0 ①

設(shè)M (x1，y1)、N(x2，y2)

∴ ，∴ ②

把②代入①可解得：

∴直線 傾斜角

[思維點(diǎn)拔] 傾斜角的范圍，實(shí)際上是求斜率的范圍。

三、課堂小結(jié)：

1、 解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，對(duì)消元后的一元二次方程，必須討論二次項(xiàng)的系數(shù)和判別式，有時(shí)借助于圖形的幾何性質(zhì)更為方便。

2、 涉及弦的中點(diǎn)問(wèn)題，除利用韋達(dá)定理外，也可以運(yùn)用點(diǎn)差法，但必須是有交點(diǎn)為前提，否則不宜用此法。

3、求圓錐曲線的弦長(zhǎng)，可利用弦長(zhǎng)公式

= 或當(dāng) 存在且不為零時(shí)

，(其中( )，( )是交點(diǎn)坐標(biāo)。

再結(jié)合韋達(dá)定理解決，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)也可利用焦半徑公式處理，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化。

四、作業(yè)布置：教材P127闖關(guān)訓(xùn)練。

 

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