1．下列命題中，真命題是( )
A．函數(shù)y＝1x是奇函數(shù)，且在定義域內為減函數(shù)
B．函數(shù)y＝x3(x－1)0是奇函數(shù)，且在定義域內為增函數(shù)
C．函數(shù)y＝x2是偶函數(shù)，且在(－3,0)上為減函數(shù)
D．函數(shù)y＝ax2＋c(ac≠0)是偶函數(shù)，且在(0,2)上為增函數(shù)
解析：選C.選項A中，y＝1x在定義域內不具有單調性；B中，函數(shù)的定義域不關于原點對稱；D中，當a＜0時，y＝ax2＋c(ac≠0)在(0,2)上為減函數(shù)，故選C.
2．奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，最小值為－1，則2f(－6)＋f(－3)的值為( )
A．10 B．－10
C．－15 D．15
解析：選C.f(x)在[3,6]上為增函數(shù)，f(x)max＝f(6)＝8，f(x)min＝f(3)＝－1.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15.
3．f(x)＝x3＋1x的圖象關于( )
A．原點對稱 B．y軸對稱
C．y＝x對稱 D．y＝－x對稱
解析：選A.x≠0，f(－x)＝(－x)3＋1－x＝－f(x)，f(x)為奇函數(shù)，關于原點對稱．
4．如果定義在區(qū)間[3－a,5]上的函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，那么a＝________.
解析：∵f(x)是[3－a,5]上的奇函數(shù)，
∴區(qū)間[3－a,5]關于原點對稱，
∴3－a＝－5，a＝8.
答案：8
1．函數(shù)f(x)＝x的奇偶性為( )
A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)
解析：選D.定義域為{x|x≥0}，不關于原點對稱．
2．下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A．f(x)＝|x|＋x B．f(x)＝x2＋1x
C．f(x)＝x2＋x D．f(x)＝|x|x2
解析：選D.只有D符合偶函數(shù)定義．
3．設f(x)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是( )
A．f(x)f(－x)是奇函數(shù)
B．f(x)|f(－x)|是奇函數(shù)
C．f(x)－f(－x)是偶函數(shù)
D．f(x)＋f(－x)是偶函數(shù)
解析：選D.設F(x)＝f(x)f(－x)
則F(－x)＝F(x)為偶函數(shù)．
設G(x)＝f(x)|f(－x)|，
則G(－x)＝f(－x)|f(x)|.
∴G(x)與G(－x)關系不定．
設M(x)＝f(x)－f(－x)，
∴M(－x)＝f(－x)－f(x)＝－M(x)為奇函數(shù)．
設N(x)＝f(x)＋f(－x)，則N(－x)＝f(－x)＋f(x)．
N(x)為偶函數(shù)．
4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函數(shù)，那么g(x)＝ax3＋bx2＋cx( )
A．是奇函數(shù)
B．是偶函數(shù)
C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
D．是非奇非偶函數(shù)
解析：選A.g(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝xf(x)，g(－x)＝－x?f(－x)＝－x?f(x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋bx2＋cx是奇函數(shù)；因為g(x)－g(－x)＝2ax3＋2cx不恒等于0，所以g(－x)＝g(x)不恒成立．故g(x)不是偶函數(shù)．
5．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象必過點( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．(a，f(1a))
解析：選C.∵f(x)是奇函數(shù)，
∴f(－a)＝－f(a)，
即自變量?。璦時，函數(shù)值為－f(a)，
故圖象必過點(－a，－f(a))．
6．f(x)為偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)≥2，則當x≤0時( )
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2
C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R
解析：選B.可畫f(x)的大致圖象易知當x≤0時，有f(x)≥2.故選B.
7．若函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x－a)為偶函數(shù)，則a＝________.
解析：f(x)＝x2＋(1－a)x－a為偶函數(shù)，
∴1－a＝0，a＝1.
答案：1
8．下列四個結論：①偶函數(shù)的圖象一定與縱軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③f(x)＝0(x∈R)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；④偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱．其中正確的命題是________．
解析：偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，不一定與y軸相交，①錯，④對；奇函數(shù)當x＝0無意義時，其圖象不過原點，②錯，③對．
答案：③④
9．①f(x)＝x2(x2＋2)；②f(x)＝x|x|；
③f(x)＝3x＋x；④f(x)＝1－x2x.
以上函數(shù)中的奇函數(shù)是________．
解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)為偶函數(shù)．
(2)∵x∈R，∴－x∈R，
又∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù)．
(3)∵定義域為[0，＋∞)，不關于原點對稱，
∴f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(4)f(x)的定義域為[－1,0)∪(0,1]
即有－1≤x≤1且x≠0，則－1≤－x≤1且－x≠0，
又∵f(－x)＝1－?－x?2－x＝－1－x2x＝－f(x)．
∴f(x)為奇函數(shù)．
答案：②④
10．判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)f(x)＝(x－1) 1＋x1－x；(2)f(x)＝x2＋x ?x＜0?－x2＋x ?x＞0?.
解：(1)由1＋x1－x≥0，得定義域為[－1,1)，關于原點不對稱，∴f(x)為非奇非偶函數(shù)．
(2)當x＜0時，－x＞0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，
當x＞0時，－x＜0，則f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)，
綜上所述，對任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)為奇函數(shù)．
11．判斷函數(shù)f(x)＝1－x2|x＋2|－2的奇偶性．
解：由1－x2≥0得－1≤x≤1.
由|x＋2|－2≠0得x≠0且x≠－4.
∴定義域為[－1,0)∪(0,1]，關于原點對稱．
∵x∈[－1,0)∪(0,1]時，x＋2＞0，
∴f(x)＝1－x2|x＋2|－2＝1－x2x，
∴f(－x)＝1－?－x?2－x＝－1－x2x＝－f(x)，
∴f(x)＝1－x2|x＋2|－2是奇函數(shù)．
12．若函數(shù)f(x)的定義域是R，且對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立．試判斷f(x)的奇偶性．
解：在f(x＋y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y(tǒng)＝0，
得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，
∴f(0)＝0.
再令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，故f(x)為奇函數(shù)．
