南京圍棋中的數(shù)學(xué)原理
圍棋一向被譽(yù)為是人類大腦智慧的專利，圍棋的走法，幾乎和宇宙中原子數(shù)量相同，甚至更多，每回合有250種可能，一盤棋可以長(zhǎng)達(dá)150個(gè)回合，共有1后面再加360個(gè)0種下法，這樣的計(jì)算量，對(duì)計(jì)算機(jī)來說叫暴力計(jì)算，非常殘忍而且很難實(shí)現(xiàn)（對(duì)數(shù)字不敏感的直接看下面的GIF圖更直觀。但正是因?yàn)檫@種深度和復(fù)雜，所以幾乎每個(gè)中國(guó)人都聽到的話就是，圍棋可以鍛煉數(shù)學(xué)思維和邏輯能力。別急，至少讓我們先看看圍棋中有哪些數(shù)學(xué)原理。很認(rèn)真的。
圍棋的思維圖
圍棋，起源于中國(guó)，可以說是**早產(chǎn)生的一種棋類。相傳圍棋為堯所造，已經(jīng)有4000年的歷史。**初圍棋可能與天文有聯(lián)系，后來逐步變?yōu)榧兇獾牟呗杂螒?。圍棋的?guī)則很簡(jiǎn)單，可以理解為雙方搶占棋盤上的空間，對(duì)弈雙方誰(shuí)圍起的空間越大誰(shuí)就獲得勝利。這與如今的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體系是有相似之處的。
博弈論是二人在平等的對(duì)局中各自利用對(duì)方的策略變換自己的對(duì)抗策略，從而達(dá)到取勝目的理論與方法。其**早期的研究對(duì)象就是象棋，橋牌，賭博等。所以也可以用博弈論中的方法來研究圍棋。
在圍棋的一些基本概念，如死活，圍空，實(shí)地與勢(shì)中都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的原理。我們來細(xì)細(xì)看過。
有一句棋彥叫“多子圍空方勝扁”，其意思是用多顆棋子圍空的時(shí)候，棋型要盡量走成方形，也就是要有立體感，要把棋子的效率**大化，這樣能圍城大空。扁的棋型所占目數(shù)少，子效很低，彈性小。這其實(shí)是一個(gè)約束條件下的**優(yōu)化數(shù)學(xué)問題。
下棋時(shí)我們總是希望用盡量少的子圍出盡量大的空。當(dāng)所用的子數(shù)一樣時(shí)，圍空越大越好?？梢越频陌堰@個(gè)問題抽象為一個(gè)條件極值問題：矩形周長(zhǎng)C為定值，求矩形面積S的**大值。
即求：
構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，
則可以列出方程：
解得：
由于空的**大值在區(qū)間內(nèi)一定存在，所以易得：
就是**大值取得的條件,也就是說矩形為正方形時(shí)圍空的效率**高。有經(jīng)驗(yàn)的棋手布局時(shí)就會(huì)注意這一點(diǎn)，將子下得高低錯(cuò)落有致，這樣易于高效的圍出空來，不至于下出扁平的臃腫的所謂“愚形”。
當(dāng)然，關(guān)于圍空效率的問題，還有很多的棋彥，比如“金角銀邊草肚皮”，“莫壓四路，休爬二路”，“七子沿邊活也輸”等等，這些道理都較易明白，這里就不再贅述了。
圍棋的死活是**基本的一項(xiàng)規(guī)則，可能也是**的規(guī)則了，所以死活的研究對(duì)于每一個(gè)棋手都是非常重要的。在下圍棋時(shí)的計(jì)算主要就是死活和目數(shù)。對(duì)于一塊棋的死活的計(jì)算，**一開始我們利用較多的就是窮舉法，將可能的走法試一遍，來判斷棋的死活。當(dāng)然這種方法**適用于簡(jiǎn)單的死活，比如一些初學(xué)者做的死活題，因?yàn)榇藭r(shí)可能性不多，能夠窮舉出來。對(duì)于一些復(fù)雜的死活問題，化歸的思想是非常有用和自然的，如果能夠試法將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為自己已經(jīng)知道結(jié)論的簡(jiǎn)單問題，就能對(duì)自己的分析起到指導(dǎo)意義。比如我們一看到若干步之后能夠構(gòu)造出經(jīng)典的活棋形式，就可以斷定這片棋是活棋。
在對(duì)殺的過程中往往要判斷自己?jiǎn)蝹€(gè)眼內(nèi)的內(nèi)氣是否滿足需求。眼中內(nèi)氣的求法可用數(shù)列通項(xiàng)的遞推方法來計(jì)算。若大小為n的眼位有an口氣，則大小為n 1的眼有an 1口氣，an 1與an滿足的關(guān)系是
**逐項(xiàng)相消的方法，可求得an的通項(xiàng)公式為
我們可以將該結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，
結(jié)果均與人們平時(shí)所熟悉數(shù)據(jù)的一致。當(dāng)然n≥7時(shí)的大眼是公活的，討論其氣數(shù)在實(shí)戰(zhàn)中意義不大，但是，這樣的分析問題的方法卻是值得借鑒的，因?yàn)檫@種遞推的方法有助于我們化繁為簡(jiǎn)，加快計(jì)算速度。
縱橫十九道，迷煞多少人。圍棋的規(guī)則現(xiàn)在已經(jīng)基本定型。圍棋的發(fā)展經(jīng)理了一個(gè)漫長(zhǎng)的過程。如今棋盤為19×19，也是經(jīng)歷了歷史的演變。當(dāng)然，圍棋盤為什么是現(xiàn)在這個(gè)樣子一直還是有爭(zhēng)議的。但我們可以**實(shí)地與外勢(shì)的平衡來分析這個(gè)問題。
圍棋盤上三路線被稱為地線，在地線上行棋容易將低路上的空地圍住。四路線被稱為勢(shì)，雖然不能完全控制住低路，但是對(duì)高路的圍空很有幫助。我們可以看一個(gè)極端的例子。對(duì)于N路棋盤（一般**小的棋盤為九路，即N≥9），若地線全部被黑棋占領(lǐng)，勢(shì)線全部被白棋占領(lǐng)（如下圖所示），
則雙方的圍空效率之差為
其中，
這一項(xiàng)當(dāng)N≥9時(shí)單調(diào)遞減，
這一項(xiàng)也單調(diào)遞增，所以整個(gè)式子是單調(diào)遞增的。將N=18和N=19代入式子中，我們得到
可見N=19時(shí)|△λ| 取得**小值，即在十九路棋盤上行棋，雙方的效率基本一致，使得取地與取勢(shì)沒有明顯的優(yōu)劣之分，這大大的拓寬了圍棋的戰(zhàn)術(shù)。所以圍棋使用十九路棋盤不是沒有道理的。
圍棋是異常復(fù)雜與有趣的。它本身就是雙方博弈的一種典型情況。圍棋的道理與現(xiàn)實(shí)生活其實(shí)是緊密相關(guān)的，比如棄子、脫先、以及取勢(shì)取地。這些特殊境況下的決策其實(shí)我們都會(huì)遇到。當(dāng)然，很多情況下每個(gè)人找到的“**大的一手棋”都是不一樣的，或者更本就沒有這樣的一手棋，但是我們必須要**仔細(xì)的推理，判斷來進(jìn)行下去。
對(duì)于圍棋的研究還是挺有實(shí)際意義的。圍棋中無論是大問題還是小問題，我們可以嘗試將這些問題抽象成數(shù)學(xué)問題，看清它的本質(zhì)，這樣對(duì)我們理解棋理甚至理解這個(gè)世界都是有好處的。
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